Movimento da Lua ao redor da Terra

     Num referencial inercial fixo no centro da Terra, a Lua cai em direção ao centro da Terra, mas não se aproxima dele porque existe outro movimento, que tende a afastá-la deste mesmo centro. Esses dois movimentos se compensam e a Lua descreve um movimento circular uniforme (MCU) com a Terra no centro.




     Seja um referencial inercial fixo no centro da Terra. Seja um certo intervalo de tempo Dt durante o qual a Lua se movimenta de A para B sobre o arco de circunferência pontilhado.
     Os pontos A e B estão muito próximos um do outro. Então, o movimento da Lua entre eles pode ser pensado como a soma de dois movimentos simultâneos e aproximadamente perpendiculares: um movimento retilíneo uniforme (MRU), de A para C, e um movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV), de C para B. Este último, aproximado, já que a aceleração correspondente, sendo a aceleração gravitacional, só é aproximadamente constante.
     O triângulo AOC é um triângulo retângulo, com o ângulo reto em A. Então, pelo teorema de Pitágoras:

     [R + h]² = R² + d²

ou então:

     d² = 2Rh + h²

onde h representa a distância entre B e C e d, a distância entre A e C.
     Como os pontos A e B estão muito próximos um do outro, pode-se considerar h << R, de modo que, também, h² << Rh, e pode-se desprezar o segundo termo do lado direito da igualdade na expressão acima e escrever, de modo aproximado:

[1]   d²  2Rh

     Levando em conta que o movimento de A para C é um MRU e que o movimento de C para B é um MRUV (aproximado), vem:

     d = v Dt

     h  ½ a (Dt)²

onde v representa o módulo da velocidade linear orbital da Lua e a, o módulo da sua aceleração centrípeta. Com estes resultados, a equação [1] fica:

     ( v Dt )²  2R [ ½ a (Dt)² ]

e depois de uma simplificação:

     a  v² / R

     Se os pontos A e B, considerados até aqui como estando muito próximos um do outro, forem considerados infinitesimalmente próximos, ou seja, se se tomar o limite A  B, ou seja,Dt  0, os dois movimentos considerados (de A para C e de C para B) passam a ser realmente perpendiculares entre si, o movimento de C para B passa a ser um MRUV exato e todas as expressões matemáticas aproximadas passam também a ser exatas.
     Em particular, o módulo da aceleração, a, fica exatamente igual a v²/R, como deve ser, já que representa a aceleração centrípeta do MCU descrito pela Lua ao redor da Terra no referencial considerado.
     Considerando um intervalo de tempo infinitesimal, o MRUV de C para B pode ser considerado como um movimento de queda da Lua em direção ao centro da Terra porque é vertical e causado pela força gravitacional da Terra sobre a Lua.
     Mas, apesar deste movimento de queda, a Lua não se aproxima da Terra mais do que o suficiente para compensar o seu afastamento devido ao MRU de A para C.
     Portanto, a Lua cai em direção ao centro da Terra, mas não se aproxima dele porque existe outro movimento, que tende a afastá-la deste mesmo centro. Os dois movimentos se compensam e a Lua descreve um MCU ao redor da Terra.


FONTE:
http://www.ufsm.br/gef/Rotacoes03.htm